Κατά πάσα πιθανότητα αντιμετωπίσατε αντικείμενα μονής όψης εκατοντάδες φορές στην καθημερινή σας ζωή - όπως το σύμβολο καθολικής ανακύκλωσης, που βρέθηκε τυπωμένο στην πλάτη των δοχείων αλουμινίου και των πλαστικών φιαλών.
Αυτό το μαθηματικό αντικείμενο ονομάζεται ταινία Mobius. Έχει συναρπάσει περιβαλλοντολόγους, καλλιτέχνες, μηχανικούς, μαθηματικούς και πολλούς άλλους από την ανακάλυψή του το 1858 από τον August Möbius, Γερμανό μαθηματικό που πέθανε πριν από 150 χρόνια, στις 26 Σεπτεμβρίου 1868.
Ο Möbius ανακάλυψε την μονόπλευρη λωρίδα το 1858 ενώ υπηρετούσε ως πρόεδρος της αστρονομίας και των ανώτερων μηχανικών στο Πανεπιστήμιο της Λειψίας. (Ένας άλλος μαθηματικός με την ονομασία Listing το περιέγραψε λίγους μήνες νωρίτερα, αλλά δεν δημοσίευσε το έργο του μέχρι το 1861.) Ο Möbius φαίνεται να έχει συναντήσει τη λωρίδα Möbius ενώ εργάζεται πάνω στη γεωμετρική θεωρία των πολυεδρικών, συμπαγών μορφών που αποτελούνται από κορυφές, άκρες και επίπεδες επιφάνειες .
Μία λωρίδα Möbius μπορεί να δημιουργηθεί λαμβάνοντας μια λωρίδα χαρτιού, δίνοντάς της ένα περίεργο αριθμό μισών στροφών, και στη συνέχεια να βιδώσετε τα άκρα πίσω για να σχηματίσουν έναν βρόχο. Αν πάρετε ένα μολύβι και σχεδιάσετε μια γραμμή κατά μήκος του κέντρου της λωρίδας, θα δείτε ότι η γραμμή προφανώς τρέχει κατά μήκος των δύο πλευρών του βρόχου.
Η ιδέα ενός μονόπλευρου αντικειμένου εμπνεύστηκε καλλιτέχνες όπως ο ολλανδός γραφίστας MC Escher, του οποίου η ξυλογραφία "Möbius Strip II" δείχνει κόκκινα μυρμήγκια που σέρνουν το ένα μετά το άλλο κατά μήκος μιας λωρίδας Möbius.
Η λωρίδα Möbius έχει κάτι παραπάνω από μία μοναδική έκπληξη. Για παράδειγμα, δοκιμάστε να πάρετε ένα ψαλίδι και να κόψετε τη λωρίδα στο μισό κατά μήκος της γραμμής που μόλις τραβήξατε. Ίσως να εκπλαγείτε να διαπιστώσετε ότι δεν έχετε με δύο μικρότερες μονόπλευρες λωρίδες Möbius, αλλά με ένα μακρύ βρόχο δύο όψεων. Αν δεν έχετε ένα κομμάτι χαρτί στο χέρι, η ξυλογραφία του Escher "Möbius Strip I" δείχνει τι συμβαίνει όταν μια λωρίδα Möbius κόβεται κατά μήκος της κεντρικής γραμμής της.
Ενώ η ταινία έχει σίγουρα οπτική ελκυστικότητα, ο μεγαλύτερος αντίκτυπός της υπήρξε στα μαθηματικά, όπου βοήθησε να προωθηθεί η ανάπτυξη ενός ολόκληρου τομέα που ονομάζεται τοπολογία.
Ένας τοπολόγος μελετά τις ιδιότητες των αντικειμένων που διατηρούνται όταν μετακινούνται, λυγίζουν, τεντώνουν ή στρίβουν, χωρίς να κόβουν ή να κόβουν μέρη μαζί. Για παράδειγμα, ένα μπερδεμένο ζευγάρι ακουστικών είναι με την τοπολογική έννοια το ίδιο με ένα ανοιχτό ζεύγος ακουστικών, επειδή η αλλαγή στην άλλη απαιτεί μόνο κίνηση, κάμψη και συστροφή. Δεν χρειάζεται κοπή ή κόλληση για να μετασχηματιστούν μεταξύ τους.
Ένα άλλο ζευγάρι αντικειμένων που είναι τοπολογικά το ίδιο είναι ένα φλιτζάνι καφέ και ένα ντόνατ. Επειδή και τα δύο αντικείμενα έχουν μόνο μία τρύπα, μπορεί κανείς να παραμορφωθεί στην άλλη απλά κάνοντας τέντωμα και κάμψη.
Μια κούπα μεταμορφώνεται σε ένα ντόνατς. (Wikimedia Commons) Ο αριθμός των οπών σε ένα αντικείμενο είναι μια ιδιότητα που μπορεί να αλλάξει μόνο μέσω κοπής ή κόλλησης. Αυτή η ιδιότητα - που ονομάζεται "γένος" ενός αντικειμένου - μας επιτρέπει να πούμε ότι ένα ζευγάρι ακουστικών και ένα ντόνατ είναι τοπολογικά διαφορετικό, δεδομένου ότι ένα ντόνατς έχει μια τρύπα, ενώ ένα ζευγάρι earbuds δεν έχει τρύπες.
Δυστυχώς, μια λωρίδα Möbius και ένας θηλειάς δύο όψεων, όπως και ένα τυπικό βραχιόλι ευαισθητοποίησης σιλικόνης, φαίνεται να έχουν μια τρύπα, οπότε αυτή η ιδιότητα δεν επαρκεί για να τους ξεχωρίσει - τουλάχιστον από την άποψη του τοπολογιού.
Αντίθετα, η ιδιότητα που διακρίνει μια λωρίδα Möbius από έναν αμφίδρομο βρόχο ονομάζεται προσανατολισμό. Όπως και ο αριθμός των οπών, η δυνατότητα προσανατολισμού ενός αντικειμένου μπορεί να αλλάξει μόνο μέσω κοπής ή κόλλησης.
Φανταστείτε να γράφετε στον εαυτό σας ένα σημείωμα σε μια επιφάνεια που βλέπετε, στη συνέχεια να κάνετε μια βόλτα γύρω από την επιφάνεια. Η επιφάνεια είναι προσανατολισμένη αν, όταν επιστρέψετε από το περίπατό σας, μπορείτε πάντα να διαβάσετε τη σημείωση. Σε μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια, μπορείτε να επιστρέψετε από το περίπατό σας μόνο για να διαπιστώσετε ότι οι λέξεις που γράψατε έχουν προφανώς μετατραπεί σε εικόνα του καθρέφτη τους και μπορούν να διαβαστούν μόνο από τα δεξιά προς τα αριστερά. Στον βρόχο δύο όψεων, η σημείωση θα διαβάζεται πάντοτε από αριστερά προς τα δεξιά, ανεξάρτητα από το πού πήγε το ταξίδι σας.
Δεδομένου ότι η ταινία Möbius δεν είναι προσανατολισμένη, ενώ ο αμφίδρομος βρόχος είναι προσανατολισμένος, αυτό σημαίνει ότι η λωρίδα Möbius και ο αμφίδρομος βρόχος είναι τοπολογικώς διαφορετικοί.
(Δημιουργήθηκε από τον David Gunderman) Όταν ξεκινά το GIF, οι κουκκίδες που εμφανίζονται δεξιόστροφα είναι μαύρες, μπλε και κόκκινες. Ωστόσο, μπορούμε να μετακινήσουμε τη διαμόρφωση τριών κουκίδων γύρω από τη λωρίδα Möbius έτσι ώστε η εικόνα να βρίσκεται στην ίδια θέση, αλλά τα χρώματα των κουκίδων που απαριθμούνται δεξιόστροφα τώρα είναι κόκκινα, μπλε και μαύρα. Με κάποιο τρόπο, η διαμόρφωση έχει μεταμορφωθεί σε δική της κατοπτρική εικόνα, αλλά το μόνο που έχουμε κάνει είναι να το μετακινήσουμε στην επιφάνεια. Αυτός ο μετασχηματισμός είναι αδύνατος σε μια προσανατολισμένη επιφάνεια όπως ο αμφίδρομος βρόχος.
Η έννοια της προσανατολισμού έχει σημαντικές επιπτώσεις. Λαμβάνετε εναντιομερή. Αυτές οι χημικές ενώσεις έχουν τις ίδιες χημικές δομές εκτός από μια βασική διαφορά: Είναι εικόνες καθρέφτη η μία από την άλλη. Για παράδειγμα, η χημική L-μεθαμφεταμίνη είναι ένα συστατικό στους εισπνευστήρες Vicks Vapor. Η κατοπτρική του εικόνα, D-μεθαμφεταμίνη, είναι ένα παράνομο φάρμακο κατηγορίας Α. Εάν ζούσαμε σε έναν μη προσανατολισμένο κόσμο, αυτές οι χημικές ουσίες θα ήταν αδιαίρετες.
Η ανακάλυψη του August Möbius άνοιξε νέους τρόπους για να μελετήσει τον φυσικό κόσμο. Η μελέτη της τοπολογίας συνεχίζει να παράγει εκπληκτικά αποτελέσματα. Για παράδειγμα, πέρυσι, η τοπολογία οδήγησε τους επιστήμονες να ανακαλύψουν περίεργες νέες καταστάσεις της ύλης. Το φετινό Medal Fields, η υψηλότερη τιμή στα μαθηματικά, απονεμήθηκε στον Akshay Venkatesh, έναν μαθηματικό που βοήθησε στην ενσωμάτωση της τοπολογίας σε άλλους τομείς, όπως η θεωρία αριθμών.
Αυτό το άρθρο δημοσιεύθηκε αρχικά στην Η συζήτηση.
David Gunderman, Ph.D. φοιτητής στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά του Πανεπιστημίου του Κολοράντο και Richard Gunderman, Καθηγητής Ιατρικής, Φιλελεύθερων Τεχνών και Φιλανθρωπίας, Ιντιάνα Πανεπιστήμιο
