Εάν είστε γονέας παιδιών κάτω των 10 ετών, οι πιθανότητες είναι πολύ καλές που γνωρίζετε ένα παιχνίδι που ονομάζεται "Spot It!"
Το Spot It !, στο διακεκριμένο στρογγυλό κασσίτερο του, είναι εξαιρετικά δημοφιλές - βρίσκεται στις δέκα πρώτες θέσεις της λίστας των καλύτερων παιχνιδιών καρτών του Αμαζονίου, εκεί πάνω με κλασικά όπως το Uno και το Taboo. Περισσότερα από 12 εκατομμύρια αντίτυπα του παιχνιδιού έχουν πωληθεί από την πρώτη κυκλοφορία του το 2009, με περισσότερους από 500.000 που πωλούνται κάθε χρόνο μόνο στις Ηνωμένες Πολιτείες. Χρησιμοποιείται συχνά στις αίθουσες διδασκαλίας, εμφανίζεται σε καταλόγους εκπαιδευτικών παιχνιδιών που προωθούν τη γνωστική ανάπτυξη, και ομιλητές και επαγγελματίες θεραπευτές σε όλες τις ΗΠΑ το επικυρώνουν. Είναι το είδος του παιχνιδιού που σας κάνει να αισθανθείτε σαν να κάνετε κάτι καλό για τον εγκέφαλό σας όταν το παίζετε.
Η βασική δομή του παιχνιδιού είναι η εξής: το κατάστρωμα έχει 55 φύλλα, με οκτώ σύμβολα σε κάθε κάρτα, τα οποία εκκενώθηκαν από μια τράπεζα με συνολικά 57 σύμβολα. Εάν επιλέξετε τυχαία δύο κάρτες, ένα σύμβολο αντιστοιχεί πάντα. Το παιχνίδι προσφέρει πολλούς διαφορετικούς τρόπους παιχνιδιού, αλλά όλα εξαρτώνται από την ταχύτητα με την οποία εντοπίζετε τον αγώνα - τα δύο τετράγωνα τυριού, τα μελάνια, τα δελφίνια, τους χιονάνθρωπους και ούτω καθεξής.
Αλλά πώς! Είναι πιθανό ότι κάθε κάρτα αντιστοιχεί σε άλλη κάρτα με έναν μόνο τρόπο;
Δεν είναι μαγικό. Είναι μαθηματικά.
**********
Η ιστορία του Spot It !, πρώτα και εξακολουθεί να δημοσιεύεται ως "Dobble" στην Ευρώπη, αρχίζει το 1850 Βρετανία. Εκείνη την εποχή, η Βρετανία βρισκόταν στη μέση ενός είδους μαθηματικής αναγέννησης. Μετά από μια περίοδο σχετικής στασιμότητας κατά τη διάρκεια της Γεωργιανής εποχής, η βασιλεία της Βασίλισσας Βικτώριας φάνηκε να παράγει μια ανθοφορία μαθηματικών ροκ-αστέρι, όπως ο Τσαρλς Μπμπμπαϊτζ, ο Τζωρτζ Μπούλε, ο Γιάν Βεν και ο Άρθουρ Κέιλι. Αυτή ήταν μια εποχή της αφηρημένης μαθηματικής φιλοσοφίας και της έρευνας, της θέσπισης των μαθηματικών αρχών που διέπουν τη σύγχρονη ψηφιακή τεχνολογία - χωρίς αυτούς τους τύπους, δεν μπορούσε να υπάρξει σύγχρονη υπολογιστική.
Ο Αιδεσιμότατος Thomas Penyngton Kirkman δεν ήταν ένα μαθηματικό ροκ-αστέρι, όχι ακριβώς. Ένας αγγλικανός κληρικός με πτυχίο από το Trinity College στο Δουβλίνο, ο Kirkman υπηρετούσε ήσυχα μια μικρή ενορία στο Lancashire, στη βόρεια Αγγλία, για 52 χρόνια. Αλλά ήταν διανοητικά περίεργος - ο νεκρός του γιου του, μετά το θάνατό του το 1895, δήλωσε ότι τα κυριότερα συμφέροντα του Kirkman ήταν «η μελέτη των καθαρών μαθηματικών, η υψηλότερη κριτική της Παλαιάς Διαθήκης και τα ζητήματα των πρώτων αρχών»., λίγα αρχεία παραμένουν. Από την πρώτη, ωστόσο, ο Kirkman άφησε πίσω του έναν κατάλογο περίπου 60 μεγάλων εγγράφων για όλα, από τη θεωρία των ομάδων μέχρι τα πολυεδρικά - αν και δημοσιεύθηκαν κυρίως σε σκοτεινά περιοδικά, γεμάτα με σύνθετη και μερικές φορές εικονογραφημένη μαθηματική ορολογία και ελάχιστα εμφανή - μια υποτιμημένη κληρονομιά, και τουλάχιστον ένα πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα.
Το 1850, ο Kirkman υπέβαλε ένα παζλ στο "The Ladies and Gentleman's Diary", ένα ετήσιο περιοδικό μαθηματικών αναψυχής που έλαβε περιεχόμενο τόσο από ερασιτέχνες όσο και από επαγγελματίες μαθηματικούς. Η ερώτηση έλεγε: «Δεκαπέντε νέες κυρίες σε ένα σχολείο βγαίνουν τρία συναπτά για διαδοχικά επτά ημέρες: απαιτείται να τα κανονίσουν καθημερινά, έτσι ώστε να μην μπορούν να περπατήσουν δύο φορές.» Το πρόβλημα της Σχολικής Μαμάς του Kirkman, όπως έγινε γνωστό, ήταν το ζήτημα των συνδυαστικών παραγόντων, ένας κλάδος λογικής που ασχολείται με συνδυασμούς αντικειμένων κάτω από συγκεκριμένα κριτήρια. Πιθανότατα είστε περισσότερο εξοικειωμένοι με τα συνδυαστικά από όσα νομίζετε ότι είναι η αρχή των μαθηματικών που ενημερώνει τα δίκτυα Sudoku. (Και αν έχετε πάρει τα LSATS, είστε σίγουρα εξοικειωμένοι με αυτό- "Αναλυτική συλλογιστική" είναι όλα σχετικά με συνδυαστικά.)
Ο Kirkman είχε λύσει το πρόβλημα τρία χρόνια πριν, όταν καθορίζει πόσες μαθητές θα χρειαζόταν να κάνει το έργο παζλ. Αυτή η απόδειξη ήταν σε απάντηση σε μια ερώτηση που τέθηκε στο ίδιο περιοδικό το 1844: "Προσδιορίστε τον αριθμό των συνδυασμών που μπορούν να γίνουν από n σύμβολα, σύμβολα p σε κάθε. με αυτόν τον περιορισμό, ότι κανένας συνδυασμός q συμβόλων που μπορεί να εμφανιστεί σε οποιοδήποτε από αυτά δεν θα πρέπει να επαναληφθεί σε οποιοδήποτε άλλο. "Ο Kirkman προέκρινε αυτό το ζήτημα ως μη επαναλαμβανόμενων ζευγών σε τριάδες, ζητώντας από ένα ορισμένο αριθμό στοιχείων, πόσες μοναδικές τριάδες μπορείτε να έχετε πριν αρχίσετε να επαναλαμβάνετε ζεύγη; Στο βιβλίο του 2006 για το πρόβλημα Kirkman, τα δεκαπέντε κορίτσια, ο Dick Tahta δίνει αρκετά παραδείγματα για το πώς μπορεί να λειτουργήσει το πρόβλημα: "Έχετε επτά φίλους τους οποίους θέλετε να προσκαλέσετε στο δείπνο σε τρίτους. Πόσες φορές μπορείτε να το κάνετε πριν δύο από αυτές συναντηθούν για δεύτερη φορά; "Σε αυτή την περίπτωση, n = 7, p = 3 και q = 2.
Ειδικότερα, η απόδειξη του Kirkman ήταν το πρώτο του μαθηματικό έγγραφο, το οποίο παρουσιάστηκε τον Δεκέμβριο του 1846, όταν ήταν ήδη 40 ετών. Επίσης, φαινόταν να είναι μια λύση σε ένα πρόβλημα που θέτει το διάσημο ελβετικό γεωμετρικό Jakob Steiner - το "τριπλό σύστημα" του, μια σειρά από μοναδικά υποσύνολα των τριών - περίπου έξι χρόνια προτού το πρότεινε ο Steiner. Αλλά η γενική λύση - η αρχή πίσω από το γιατί λειτουργεί και δείχνει ότι λειτουργεί όλο τον χρόνο - δεν θα καταλάβαιναν μέχρι το 1968, όταν οι μαθηματικοί Dijen Ray-Chaudhuri και ο τότε μαθητής του, Richard Wilson, στο Ohio State University, συνεργάστηκε σε ένα θεώρημα που το αποδεικνύει.
"Ο Kirkman ήταν, από όσο γνωρίζουμε, οδηγημένος μόνο από περιέργεια. Αλλά όπως συμβαίνει συχνά στα μαθηματικά, οι ιδέες του αποδείχτηκαν ότι έχουν πολύ ευρεία εφαρμογή. Στα στατιστικά στοιχεία, ο Sir Ronald Fisher τα χρησιμοποίησε για την παραγωγή πειραματικών σχεδίων τα οποία συγκρίνουν οποιοδήποτε ζευγάρι προτεινόμενων θεραπειών με τον βέλτιστο τρόπο. Εμφανίζονται επίσης στη θεωρία των κωδικών διόρθωσης σφαλμάτων, όπως χρησιμοποιούνται στην επικοινωνία μεταξύ ηλεκτρονικών υπολογιστών, δορυφόρων και ούτω καθεξής », γράφει ο Peter Cameron, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του St. Andrews, σε ένα ηλεκτρονικό ταχυδρομείο. "Μια άλλη εφαρμογή αποδεικνύεται ότι είναι παιχνίδια με χαρτιά".
Το Spot It!
Το Παιχνίδι Κόμμα Smash Hit. Αφήστε το! είναι το εθιστικό, feverishly διασκεδαστικό ταιριάζοντας παιχνίδι για κάθε γενιά. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να ξέρετε για το Spot it! είναι ότι υπάρχει πάντα ένα, και μόνο ένα, σύμβολο που ταιριάζει ανάμεσα σε δύο κάρτες. Το κατάλαβα? Τώρα το μόνο που χρειάζεστε είναι ένα αιχμηρό μάτι και ένα γρήγορο χέρι για να παίξετε και τα πέντε παιχνίδια κόμματος που είναι γεμάτα στο πιάτο 'n' go tin. Συμπεριλαμβανομένων έως οκτώ παικτών, Spot it! είναι ένας cinch για να μάθουν, παίζει γρήγορα, και είναι ακαταμάχητα διασκεδαστικό για όλες τις ηλικίες. Μόλις εντοπίσετε, η διασκέδαση δεν σταματά. Απλό να μάθεις, μια πρόκληση να κερδίσεις.
ΑγοράΑλλα οχι ακομα. Η γενική λύση του Ray-Chaudhuri και του Wilson ενέπνευσε ένα κύμα ενδιαφέροντος για το πρόβλημα της σχολικής μάχης του Kirkman, εξαιτίας των εφαρμογών του στον τομέα της κωδικοποίησης και του υπολογισμού. Ανάμεσά τους ήταν ένας νέος ενθουσιώδης μαθητής της Γαλλίας που ονομάζεται Jacques Cottereau. Αυτό ήταν το 1976 και ο Cottereau εμπνεύστηκε από σχετικά νέες θεωρίες κωδίκων διόρθωσης σφαλμάτων και από τις αρχές των λεγόμενων "ατελών ισορροπημένων μπλοκ", όπου ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχείων είναι διατεταγμένο σε υποσύνολα που ικανοποιούν ορισμένες παραμέτρους "ισορροπίας" έννοια που χρησιμοποιείται συχνά στο σχεδιασμό πειραμάτων.
Ο Cottereau ήθελε να βρει ένα μοντέλο για να κάνει το έργο παζλ σε οποιονδήποτε συνδυασμό και θέλησε να είναι διασκεδαστικό . Σύντομα συνειδητοποίησε ότι οι αρχές της λύσης δεν έπρεπε να είναι αριθμοί ή μαθήτριες. Για να ξανασκεφτεί το πρόβλημα της Σχολής, ο Cottereau σχεδίασε ένα παιχνίδι των εντόμων: Ένα σύνολο 31 καρτών με έξι εικόνες εντόμων, ακριβώς μια εικόνα που μοιράζεται μεταξύ τους. Το "παιχνίδι των εντόμων", μια περιορισμένη εκδοχή του τι Spot It! θα γίνει ποτέ, όμως, ποτέ μετά από το καθιστικό του Cottereau και θα περάσει τα επόμενα 30 χρόνια συγκέντρωσης σκόνης.
Ο Cottereau δεν ήταν ούτε επαγγελματίας μαθηματικός ούτε κατασκευαστής παιχνιδιών. ήταν απλώς ένας χομπίστας που είχε «πάθος για τον συγκεκριμένο τομέα», σύμφωνα με τον συν-εφευρέτη της Dobble, Denis Blanchot. Ο Blanchot δεν είναι επίσης μαθηματικός - είναι δημοσιογράφος από το εμπόριο - αλλά του αρέσει να δημιουργεί και να σχεδιάζει παιχνίδια. Το 2008, ο Blanchot βρήκε μερικές από τις κάρτες από το παιχνίδι των εντομοκτόνων - ο Cottereau είναι ο πατέρας της αδελφής του Blanchot - και είδε σ 'αυτούς τους σπόρους ενός διασκεδαστικού παιχνιδιού.
"Είχε την ιδέα να το μεταφράσει σε κάρτες. Έχω μετατρέψει το παιχνίδι σε αληθινό παιχνίδι, ταχύτητα και διασκέδαση ", λέει ο Blanchot μέσω του Facebook Messenger. Θεωρούσαν ότι το παιχνίδι, το οποίο ονόμαζαν Dobble, θα ήταν για όλους, όχι μόνο για παιδιά.
Ο Blanchot εργάστηκε στις εικονογραφήσεις για το πρωτότυπο, ένα μίγμα ζώων, σημείων και αντικειμένων, μερικά από τα οποία εξακολουθούν να αποτελούν μέρος του παιχνιδιού τώρα, και, μετά από πολλές δοκιμασίες, βρήκαν αρκετές προσεγγίσεις στο παιχνίδι. Το παιχνίδι Dobble, το οποίο ονομάστηκε έτσι ως παιχνίδι για τη λέξη "διπλό", κυκλοφόρησε στη Γαλλία το 2009 με τους εκδότες Play Factory, στη συνέχεια στη Γερμανία το 2010. Τον ίδιο χρόνο, οι Blanchot και Cottereau πουλούσαν το παιχνίδι στο Play Factory. Ένα ένθετο, που περιλαμβάνεται στη συσκευασία του παιχνιδιού από το 2016, απαριθμεί τους Blanchot και Cottereau ως τους δημιουργούς, "με τη βοήθεια της Play Factory Team", αν και οι δύο δεν συμμετέχουν πλέον στο παιχνίδι.
Το Dobble απελευθερώθηκε στο Ηνωμένο Βασίλειο και στη Βόρεια Αμερική, όπως το Spot It !, το 2011, σε αρκετά άμεση επιτυχία. Η Asmodee απέκτησε τα παγκόσμια δικαιώματα για το παιχνίδι από το Play Factory και από τον Αμερικανό διανομέα Blue Orange, το 2015. Τώρα, το παιχνίδι έχει δημοσιευθεί με περισσότερα από 100 διαφορετικά θέματα, όπως το National Hockey League, το "hip" (mustaches and bicycles) και το Finding Dory της Pixar. Έχουν δημιουργήσει εκδόσεις με ισπανικό και γαλλικό λεξιλόγιο, με αλφάβητο και αριθμούς, καθώς και κάρτες με πριγκίπισσες της Disney και Star Wars . Οι πρώτοι εκδότες του παιχνιδιού δημιούργησαν ακόμη μια φορά μια έκδοση για τη γαλλική αστυνομία χρησιμοποιώντας σύμβολα δρόμου και ένα μπουκάλι κρασιού, λέει ο Jon Bruton, αγοραστής για την Asmodee Europe: «Είπαν ότι ήταν υπενθύμιση να μην πίνουν και να οδηγούν».
Ο Ben Hogg, διευθυντής μάρκετινγκ της Asmodee Europe, αποδίδει την επιτυχία του παιχνιδιού - είναι το πιο δημοφιλές παιχνίδι καρτών στο Ηνωμένο Βασίλειο φέτος - στην ευκολία του παιχνιδιού. "Οι άνθρωποι μπορούν να μάθουν πώς να παίζουν σχεδόν αμέσως. Μπορούν να το παίξουν εξαιρετικά καλά, αλλά δεν μπορούν να το κυριαρχήσουν », είπε. "Είναι ένα από αυτά τα παιχνίδια που μπορείτε να δείξετε στους ανθρώπους και αμέσως το παίρνουν, βλέπουν τι είναι διασκεδαστικό γι 'αυτό".
**********
Αλλά οι περισσότεροι από τους ανθρώπους που παίζουν δεν καταλαβαίνουν ακριβώς γιατί λειτουργεί. Το Spot It! μπορεί να είναι εύκολο να παίξει, αλλά τα μαθηματικά πίσω από αυτό είναι εκπληκτικά περίπλοκη.
Πιο απλά, το παιχνίδι βασίζεται στην αρχή του Euclid ότι δύο γραμμές σε ένα άπειρο, δισδιάστατο επίπεδο θα μοιράζονται μόνο ένα κοινό σημείο. Κατά τον 18ο και 19ο αιώνα, η Ευκλείδης γεωμετρία πληροφόρησε τη βάση της σύγχρονης άλγεβρας μέσω του Rene Descartes που αντιστοιχούσε αυτές τις συντεταγμένες των σημείων, έτσι ώστε τα σημεία δεν ήταν πλέον φυσικές τοποθεσίες. θα μπορούσαν να γίνουν αριθμοί και αργότερα, συστήματα αριθμών. Για τους σκοπούς του προβλήματος της Σχολικής Γενεαλογίας του Kirkman, εξηγεί ο Cameron, «σκεφτείτε τα κορίτσια ως« σημεία »και ομάδες τριών κοριτσιών ως« γραμμές ». Το αξίωμα του Ευκλείδη είναι ικανοποιημένο. ... Το πιο δύσκολο κομμάτι του προβλήματος είναι να χωρίσουμε τις 35 ομάδες σε 7 ομάδες των 5 έτσι ώστε κάθε κορίτσι να εμφανίζεται μία φορά σε κάθε σύμπλεγμα. Στους όρους του Euclid, αυτό είναι σαν να προσθέτουμε τη σχέση παραλληλισμού με τη διάταξη. "
Το πρόβλημα του Kirkman, και ως εκ τούτου η λύση Spot It !, ζει στην περιοχή της πεπερασμένης γεωμετρίας. "Η πιο βασική από αυτές τις γεωμετρίες έχει q2 βαθμούς, με q σημεία σε κάθε γραμμή, όπου q είναι ο αριθμός των στοιχείων στο επιλεγμένο σύστημα αριθμού ή πεδίο. Μια μικρή παραλλαγή δίνει q 2 + q + 1 σημεία, με q + 1 σημεία σε κάθε γραμμή ", γράφει ο Cameron.
Το αεροπλάνο Fano, το οποίο ονομάστηκε για τον Ιταλό μαθηματικό Gino Fano, είναι μια δομή σε πεπερασμένη γεωμετρία, όπου επτά σημεία συνδέονται με επτά γραμμές (συμπεριλαμβανομένου του κύκλου στη μέση). Κάθε σημείο έχει ακριβώς τρεις γραμμές που πληρούν και κάθε γραμμή διασχίζει ακριβώς τρία σημεία. Εάν τα σημεία παριστάνουν εικόνες και οι γραμμές ήταν κάρτες στο Spot It !, κάθε μία από τις οποίες περιέχει μόνο τις εικόνες που αγγίζει η γραμμή, τότε θα υπήρχαν επτά κάρτες με τρεις εικόνες το καθένα και οποιεσδήποτε δύο κάρτες θα μοιράζονταν μόνο μία εικόνα. Η ίδια ιδέα μπορεί να κλιμακωθεί για μια πλήρη τράπουλα. (Δημόσιος τομέας) Τι σημαίνει αυτό για το Spot It; "Ας πάρουμε μία από αυτές τις γεωμετρίες και προσπαθήσουμε να την μετατρέψουμε σε ένα παιχνίδι καρτών. Κάθε κάρτα θα θεωρείται ως σημείο και θα φέρει ένα αριθμό συμβόλων που αντιπροσωπεύουν τις γραμμές που περιέχουν αυτό το σημείο. Δεδομένων οποιωνδήποτε δύο καρτών, θα υπάρχει ένα μόνο σύμβολο που έχουν κοινό, που αντιστοιχεί στη μοναδική γραμμή μέσω των δύο σημείων ", είπε ο Cameron.
Με το q να είναι επτά στον τύπο, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι υπάρχουν 57 πόντοι (7 2 + 7 + 1), με οκτώ σημεία (7 + 1) σε κάθε γραμμή. "Έτσι μπορούμε να κάνουμε ένα πακέτο 57 καρτών, με οκτώ σύμβολα σε κάθε κάρτα και οποιεσδήποτε δύο κάρτες έχουν ακριβώς ένα κοινό σύμβολο. Εκεί, στην ουσία, είναι το παιχνίδι! "Λέει ο Cameron.
Αξιοσημείωτο όμως είναι το Spot It! δεν περιέχει 57 κάρτες, περιέχει μόνο 55. Μία θεωρία για τις δύο κάρτες που λείπουν είναι ότι οι κατασκευαστές χρησιμοποίησαν τα τυποποιημένα μηχανήματα κατασκευής καρτών και τα τυποποιημένα χαρτοκιβώτια περιέχουν 55 χαρτιά καρτών χαρτών 52, δύο Τζόκερ και διαφημίσεις. "Δεν υπάρχει πρόβλημα", έγραψε ο Cameron. "Κάνετε 57 κάρτες και χάνετε δύο από αυτές. το αποτέλεσμα 55 θα εξακολουθεί να έχει την ιδιότητα ότι οποιοιδήποτε δύο μοιράζονται μόνο ένα σύμβολο. Πράγματι, ανεξάρτητα από το πόσες κάρτες χάνετε, αυτή η ιδιότητα θα κρατήσει ακόμα. "
**********
Φυσικά, δεν χρειάζεται να καταλάβετε πώς λειτουργεί για να απολαύσετε το παιχνίδι. Αλλά προσπαθώντας να το καταλάβω θα μπορούσε να αποτελέσει πύλη για την κατανόηση ή τη σκέψη για τα μαθηματικά με νέους τρόπους. Πριν ο Jon Bruton έγινε αγοραστής για την Asmodee, ήταν καθηγητής μαθηματικών σε σχολείο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης στο Hampshire της Αγγλίας. Χρησιμοποίησε το Dobble στις τάξεις του, πρώτα να πάρει τα παιδιά για να παίξει το παιχνίδι - και στη συνέχεια να τα πάρει για να σχεδιάσουν τις δικές τους εκδόσεις.
"Ήταν ένα που βασικά όλοι θα μπορούσαν να πετύχουν σε ένα αρχικό επίπεδο ... Η ιδέα ήταν ένα σημείο εκκίνησης για να δούμε τα συνδυαστικά και τις μήτρες, ήταν ένα γάντζο", λέει. "Τα περισσότερα παιδιά θα μπορούσαν να σχεδιάσουν ένα ή δύο σετ, η πρόκληση θα ήταν να καθίσετε και να ρωτήσετε, πώς θα μπορούσα πραγματικά να κάνω αυτό το έργο;"
Η εκπόνηση του τρόπου με τον οποίο λειτουργεί, ειδικά μετά από δύο ή τρία, είναι δύσκολο. Σίγουρα, θα μπορούσατε να αγοράσετε το παιχνίδι αυτή την εορταστική περίοδο - και θα είχατε πολλές θεατρικές επιλογές διασκέδασης - αλλά τι θα κάνετε αν φτιάξατε το δικό σας;
