Μια χιονισμένη ημέρα Ιανουαρίου, ζήτησα μια τάξη φοιτητών να μου πείτε την πρώτη λέξη που ήρθε στο νου όταν σκέφτηκαν τα μαθηματικά. Οι δύο πρώτες λέξεις ήταν "υπολογισμός" και "εξίσωση".
Όταν ρώτησα ένα δωμάτιο επαγγελματιών μαθηματικών την ίδια ερώτηση, καμία από αυτές τις λέξεις δεν αναφέρθηκε. Αντίθετα, πρόσφεραν φράσεις όπως "κριτική σκέψη" και "επίλυση προβλημάτων".
Αυτό είναι δυστυχώς κοινό. Τι επαγγελματίες μαθηματικοί θεωρούν ως μαθηματικά είναι εντελώς διαφορετικό από αυτό που ο γενικός πληθυσμός θεωρεί ως μαθηματικά. Όταν πολλοί περιγράφουν τα μαθηματικά ως συνώνυμα με τον υπολογισμό, δεν είναι περίεργο που ακούμε "μισώ μαθηματικά" τόσο συχνά.
Γύρισα λοιπόν να λύσω αυτό το πρόβλημα με έναν κάπως αντισυμβατικό τρόπο. Αποφάσισα να προσφέρω μια τάξη που ονομάζεται "Τα Μαθηματικά του Πλεκτομηχανές" στο ίδρυμά μου, το Καρχηδόνα Κολέγιο. Σε αυτό, επέλεξα να εξαλείψω εντελώς το μολύβι, το χαρτί, την αριθμομηχανή (gasp) και το βιβλίο από την τάξη. Αντ 'αυτού, μιλήσαμε, χρησιμοποιούσαμε τα χέρια μας, τραβούσαμε φωτογραφίες και παίξαμε με τα πάντα, από τις μπάλες της παραλίας μέχρι τις μετρητικές ταινίες. Για την εργασία, αντανακλάται από το blogging. Και φυσικά, εμείς πλέκουμε.
Ίδια αλλά διαφορετικά
Μια ουσία του μαθηματικού περιεχομένου είναι η εξίσωση και κρίσιμο γι 'αυτό είναι το ισότιμο σημάδι. Μια εξίσωση όπως η x = 5 μας λέει ότι το επίφοβη x, το οποίο αντιπροσωπεύει κάποια ποσότητα, έχει την ίδια τιμή με 5. Ο αριθμός 5 και η τιμή του x πρέπει να είναι ακριβώς ίδιοι.
Ένα τυπικό ίσο σημείο είναι πολύ αυστηρό. Κάθε μικρή απόκλιση από το "ακριβώς" σημαίνει ότι δύο πράγματα δεν είναι ίσα. Ωστόσο, υπάρχουν πολλές φορές στη ζωή όπου δύο ποσότητες δεν είναι ακριβώς οι ίδιες, αλλά είναι ουσιαστικά οι ίδιες με κάποια σημαντικά κριτήρια.
Φανταστείτε, για παράδειγμα, ότι έχετε δύο τετράγωνα μαξιλάρια. Το πρώτο είναι κόκκινο στην κορυφή, κίτρινο στα δεξιά, πράσινο στο κάτω μέρος και μπλε στα αριστερά. Το δεύτερο είναι κίτρινο στην κορυφή, το πράσινο στα δεξιά, το μπλε στο κάτω μέρος και το κόκκινο στα αριστερά.
Τα μαξιλάρια δεν είναι ακριβώς τα ίδια. Κάποιος έχει μια κόκκινη κορυφή, ενώ η μία έχει μια κίτρινη κορυφή. Αλλά σίγουρα είναι παρόμοια. Στην πραγματικότητα, θα ήταν ακριβώς το ίδιο αν γυρίσετε το μαξιλάρι με την κόκκινη κορυφή μία φορά αριστερόστροφα.
Περιστρέφοντας δύο τετράγωνα μαξιλάρια (Sara Jensen) Πόσοι διαφορετικοί τρόποι θα μπορούσα να βάλω το ίδιο μαξιλάρι κάτω σε ένα κρεβάτι, αλλά να το φανεί διαφορετικό; Μια μικρή εργασία δείχνει ότι υπάρχουν 24 διαμορφωμένες διαμορφώσεις μαξιλαριού, αλλά μόνο οκτώ από αυτές μπορούν να ληφθούν από τη μετακίνηση ενός δεδομένου μαξιλαριού.
Οι μαθητές το έδειξαν αυτό με πλέξιμο ρίχνουν μαξιλάρια, που αποτελείται από δύο χρώματα, από πλέξιμο διαγράμματα.
Ένα διάγραμμα πλέξιμο για ένα μαξιλάρι ρίψης (Sara Jensen) Οι μαθητές δημιούργησαν τετράγωνους πίνακες πλεξίματος όπου και οι οκτώ κινήσεις του διαγράμματος οδήγησαν σε μια διαφορετική εμφάνιση. Αυτοί στη συνέχεια πλέκονται σε ένα μαξιλάρι ρίψης όπου η ισοδυναμία των εικόνων θα μπορούσε να αποδειχθεί με την πραγματική κίνηση του μαξιλαριού.
Γεωμετρία φύλλου καουτσούκ
Ένα άλλο θέμα που καλύψαμε είναι ένα θέμα που μερικές φορές αναφέρεται ως "γεωμετρία φύλλων καουτσούκ". Η ιδέα είναι να φανταστούμε ότι όλος ο κόσμος είναι φτιαγμένος από καουτσούκ, και πάλι να ξαναδιαμορφώσουμε ποια σχήματα θα μοιάζουν.
Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε την ιδέα με το πλέξιμο. Ένας τρόπος πλέξιμο αντικειμένων που είναι στρογγυλά σαν καπέλα ή γάντια - είναι με ειδικές βελόνες πλεξίματος που ονομάζονται διπλές αιχμές βελόνες. Ενώ γίνεται, το καπέλο διαμορφώνεται από τρεις βελόνες, κάνοντας το να φαίνεται τριγωνικό. Στη συνέχεια, μόλις βγει από τις βελόνες, το ελαστικό νήμα χαλαρώνει σε έναν κύκλο, κάνοντας ένα πολύ πιο τυπικό καπέλο.
Αυτή είναι η έννοια που προσπαθεί να συλλάβει η "γεωμετρία φύλλων καουτσούκ". Με κάποιο τρόπο, ένα τρίγωνο και ένας κύκλος μπορούν να είναι τα ίδια αν είναι κατασκευασμένα από ένα εύκαμπτο υλικό. Στην πραγματικότητα, όλα τα πολύγωνα γίνονται κύκλοι σε αυτόν τον τομέα σπουδών.
Εάν όλα τα πολύγωνα είναι κύκλοι, τότε ποια σχήματα έχουν απομείνει; Υπάρχουν μερικά χαρακτηριστικά γνωρίσματα που διακρίνονται ακόμη και όταν τα αντικείμενα είναι εύκαμπτα - για παράδειγμα, αν ένα σχήμα έχει άκρες ή δεν υπάρχουν άκρες, τρύπες ή καμία τρύπα, στροφές ή καμία συστροφή.
Ένα παράδειγμα από το πλέξιμο κάτι που δεν είναι ισοδύναμο με έναν κύκλο είναι ένα φουλάρι άπειρο. Αν θέλετε να φτιάξετε ένα φουλάρι με άπειρο χαρτί στο σπίτι, πάρτε μια μακριά λωρίδα χαρτιού και κολλήστε τις κοντές άκρες μαζί τοποθετώντας την πάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία και την κάτω αριστερή γωνία στην επάνω δεξιά γωνία. Στη συνέχεια, σύρετε τα βέλη προς τα πάνω προς τα πάνω. Θα έπρεπε να συμβεί κάτι δροσερό.
Οι μαθητές στο μάθημα πέρασαν μερικές φορές πλέξιμο αντικείμενα, όπως κασκόλ και κεφαλές, που ήταν διαφορετικά, ακόμη και όταν φτιάχνονταν από εύκαμπτο υλικό. Η προσθήκη σημείων όπως τα βέλη βοήθησε να απεικονιστεί ακριβώς πώς τα αντικείμενα ήταν διαφορετικά.
Διαφορετικές γεύσεις
Ένα φουλάρι άπειρο (Καρχηδόνα Κολλέγιο) Αν τα πράγματα που περιγράφονται σε αυτό το άρθρο δεν ακούγονται σαν μαθηματικά σε σας, θέλω να ενισχύσω ότι είναι πάρα πολύ. Τα θέματα που συζητήθηκαν εδώ - η αφηρημένη άλγεβρα και η τοπολογία - συνήθως προορίζονται για τα μαθήματα μεγάλου μήκους στα κατώτερα και ανώτερα χρόνια του κολέγου. Ωστόσο, οι φιλοσοφίες αυτών των θεμάτων είναι πολύ προσιτές, δεδομένου του σωστού μέσου.
Κατά την άποψή μου, δεν υπάρχει λόγος να αποκρύπτονται αυτές οι διαφορετικές γεύσεις μαθηματικών από το κοινό ή να υπογραμμίζονται λιγότερο από τα συμβατικά μαθηματικά. Περαιτέρω, μελέτες έχουν δείξει ότι η χρήση υλικών που μπορούν να χειριστούν φυσικά μπορεί να βελτιώσει τη μαθηματική μάθηση σε όλα τα επίπεδα της μελέτης.
Εάν περισσότεροι μαθηματικοί ήταν σε θέση να θέσουν κατά μέρος τις κλασσικές τεχνικές, φαίνεται πιθανό ότι ο κόσμος θα μπορούσε να ξεπεράσει την επικρατούσα εσφαλμένη αντίληψη ότι ο υπολογισμός είναι ίδιος με τα μαθηματικά. Και ίσως μόνο, μερικοί περισσότεροι άνθρωποι εκεί έξω θα μπορούσαν να αγκαλιάσουν τη μαθηματική σκέψη? αν όχι εικαστικά, τότε κυριολεκτικά, με ένα μαξιλάρι ρίψης.
Αυτό το άρθρο δημοσιεύθηκε αρχικά στην Η συζήτηση.
Sara Jensen, Επίκουρη Καθηγήτρια Μαθηματικών, Κολλέγιο Καρχηδόνα
