Στις 20 Μαρτίου, ο Αμερικανός-Καναδός μαθηματικός Robert Langlands έλαβε το βραβείο Abel, γιορτάζοντας τα επιτεύγματα σε όλη τη ζωή στα μαθηματικά. Η έρευνα του Langlands έδειξε πώς οι έννοιες από τη γεωμετρία, την άλγεβρα και την ανάλυση θα μπορούσαν να συγκεντρωθούν με μια κοινή σύνδεση με τους πρωταρχικούς αριθμούς.
Όταν ο βασιλιάς της Νορβηγίας παρουσιάζει το βραβείο στους Langlands τον Μάιο, θα τιμήσει το τελευταίο σε μια προσπάθεια 2, 300 ετών για να καταλάβει τους αρχικούς αριθμούς, αναμφισβήτητα το μεγαλύτερο και παλαιότερο σύνολο δεδομένων στα μαθηματικά. Ως μαθηματικός που αφιερώνεται σε αυτό το "πρόγραμμα των Langlands", με εντυπωσιάζει η ιστορία των πρωταγωνιστικών αριθμών και πως οι πρόσφατες εξελίξεις υπονομεύουν τα μυστικά τους. Γιατί έχουν αιχμαλωτίσει τους μαθηματικούς για χιλιετίες;
Για να μελετήσουν τις πρώτες ύλες, οι μαθηματικοί τεντώνουν ολόκληρους αριθμούς μέσω ενός εικονικού πλέγματος μετά το άλλο, μέχρι να παραμείνουν μόνο τα αρχικά. Αυτή η διαδικασία κοσκινίσματος παρήγαγε πίνακες εκατομμυρίων πριμοδοτήσεων στη δεκαετία του 1800. Επιτρέπει στους σύγχρονους υπολογιστές να βρουν δισεκατομμύρια πρώτες ύλες σε λιγότερο από ένα δευτερόλεπτο. Αλλά η βασική ιδέα του κόσκινου δεν έχει αλλάξει σε πάνω από 2.000 χρόνια.
"Ο πρώτος αριθμός είναι αυτός που μετράται μόνο από τη μονάδα", γράφει ο μαθηματικός Euclid το 300 π.Χ. Αυτό σημαίνει ότι οι πρώτοι αριθμοί δεν μπορούν να χωριστούν ομοιόμορφα από οποιοδήποτε μικρότερο αριθμό εκτός από το 1. Κατά σύμβαση, οι μαθηματικοί δεν έναν πρωταρχικό αριθμό. Ο Ευκλείδης απέδειξε την ατέλεια των αρχικών - πηγαίνουν για πάντα - αλλά η ιστορία δείχνει ότι ήταν ο Ερατοσθένης που μας έδωσε το κόσκινο για να καταγράψουμε γρήγορα τα αρχικά.
Εδώ είναι η ιδέα του κόσκινου. Κατ 'αρχάς, φιλτράρετε πολλαπλάσια από 2, στη συνέχεια 3, στη συνέχεια 5, και στη συνέχεια 7 - τα πρώτα τέσσερα αρχικά. Εάν το κάνετε αυτό με όλους τους αριθμούς από 2 έως 100, θα παραμείνουν μόνο οι πρώτοι αριθμοί.
Ο πολλαπλασιασμός των 2, 3, 5 και 7 αφήνει μόνο τα αρχικά μεταξύ 1 και 100. (Ευγενική προσφορά της MH Weissman) Με οκτώ βήματα φιλτραρίσματος, μπορεί κανείς να απομονώσει τα πρωτεύοντα μέχρι 400. Με 168 στάδια φιλτραρίσματος, μπορεί κανείς να απομονώσει τα αρχικά έως 1 εκατομμύριο. Αυτή είναι η δύναμη του κόσκινου του Ερατοσθένη.
**********
Ένα πρώιμο νούμερο στον πίνακα των πριμοδοτήσεων είναι ο John Pell, ένας αγγλικός μαθηματικός που αφιέρωσε τον εαυτό του στη δημιουργία πινάκων χρήσιμων αριθμών. Ήταν κίνητρο να λύσει τα αρχαία αριθμητικά προβλήματα του Διόφαντου, αλλά και μια προσωπική προσπάθεια να οργανώσει μαθηματικές αλήθειες. Χάρη στις προσπάθειές του, οι πρώτοι μέχρι 100.000 κυκλοφόρησαν ευρέως στις αρχές του 1700. Μέχρι το 1800, τα ανεξάρτητα έργα είχαν καταγράψει τα αρχικά μεγέθη έως 1 εκατομμύριο.
Για να αυτοματοποιήσει τα κουραστικά σκαλοπάτια, ένας γερμανός μαθηματικός με το όνομα Carl Friedrich Hindenburg χρησιμοποίησε ρυθμιζόμενα ρυθμιστικά για να σβήνει πολλαπλάσια σε ολόκληρη τη σελίδα ενός πίνακα ταυτόχρονα. Μια άλλη χαμηλής τεχνολογίας αλλά αποτελεσματική προσέγγιση χρησιμοποίησε στένσιλ για να εντοπίσει τα πολλαπλάσια. Μέχρι τα μέσα του 1800, ο μαθηματικός Jakob Kulik ξεκίνησε ένα φιλόδοξο εγχείρημα για να βρει όλα τα πρωταθλήματα μέχρι 100 εκατομμύρια.
Ένα stencil που χρησιμοποίησε ο Kulik για να κοσκινίσει τα πολλαπλάσια του 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Χορηγία εικόνας από τον Denis Roegel, Συγγραφέας παρέχεται) Αυτά τα "μεγάλα δεδομένα" της δεκαετίας του 1800 θα μπορούσαν να χρησιμεύσουν μόνο ως πίνακας αναφοράς, αν ο Carl Friedrich Gauss δεν είχε αποφασίσει να αναλύσει τα αρχικά για χάρη του. Οπλισμένος με μια λίστα με πριμοδοτήσεις μέχρι 3 εκατομμύρια, ο Gauss άρχισε να τις μετράει, μία "χιλιάδα" ή μια ομάδα 1.000 μονάδων, κάθε φορά. Μετρούσε τα αρχικά μέχρι τα 1.000, τότε τα αρχικά μεταξύ 1.000 και 2.000, στη συνέχεια μεταξύ 2.000 και 3.000 και ούτω καθεξής.
Ο Gauss ανακάλυψε ότι, όπως μετράει υψηλότερα, οι αρχαιότητες γίνονται σταδιακά λιγότερο συχνές σύμφωνα με έναν "αντίστροφο" λογότυπο. Ο νόμος του Gauss δεν δείχνει ακριβώς πόσες πρώτες ύλες υπάρχουν, αλλά δίνει μια αρκετά καλή εκτίμηση. Για παράδειγμα, ο νόμος του προβλέπει προβλέψεις 72 μεταξύ 1.000.000 και 1.001.000. Η σωστή μέτρηση είναι 75 πριμοδοτήσεις, περίπου 4% λάθος.
Ένας αιώνας μετά τις πρώτες εξερευνήσεις του Gauss, ο νόμος του αποδείχθηκε στο «θεώρημα του πρώτου αριθμού». Το ποσοστό σφάλματος προσεγγίζει το μηδέν σε μεγαλύτερες και μεγαλύτερες σειρές πρώτων. Η υπόθεση Riemann, ένα πρόβλημα βραβείου εκατομμυρίων δολαρίων σήμερα, περιγράφει επίσης πόσο ακριβείς είναι οι εκτιμήσεις του Gauss.
Το θεώρημα του πρωταρχικού αριθμού και η υπόθεση Riemann παίρνουν την προσοχή και τα χρήματα, αλλά και τα δύο συνέχισαν την προηγούμενη, λιγότερο λαμπερή ανάλυση δεδομένων.
.....
Σήμερα, τα σύνολα δεδομένων μας προέρχονται από προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών και όχι από χειροποίητα στένσιλ, αλλά οι μαθηματικοί εξακολουθούν να βρίσκουν νέα μοτίβα στα πριμ.
Εκτός από τα 2 και 5, όλοι οι πρώτοι αριθμοί τελειώνουν στο ψηφίο 1, 3, 7 ή 9. Στη δεκαετία του 1800, αποδείχθηκε ότι αυτά τα πιθανά τελευταία ψηφία είναι εξίσου συχνά. Με άλλα λόγια, εάν κοιτάξετε τα αρχικά έως ένα εκατομμύριο, το 25 τοις εκατό τελειώνει στο 1, το 25 τοις εκατό τελειώνει σε 3, το 25 τοις εκατό τελειώνει σε 7, και το 25 τοις εκατό τελειώνει στις 9.
Πριν από μερικά χρόνια, οι θεωρητικοί αριθμών του Stanford, Lemke Oliver και Kannan Soundararajan, εκδιώχθηκαν από τους ιδιοκτήτες στα τελικά ψηφία των πρώτων. Ένα πείραμα εξέτασε το τελευταίο ψηφίο ενός πρώτου, καθώς και το τελευταίο ψηφίο του επόμενου prime. Για παράδειγμα, το επόμενο πρωτάθλημα μετά το 23 είναι 29: Ένας βλέπει ένα 3 και στη συνέχεια ένα 9 στα τελευταία ψηφία τους. Μήπως βλέπει κανείς 3, τότε 9 πιο συχνά από 3 και έπειτα 7, ανάμεσα στα τελευταία ψηφία των πριμοδοτήσεων;
Συχνότητα ζευγών τελευταίου ψηφίου, μεταξύ των διαδοχικών πρωτευόντων αριθμών μέχρι 100 εκατομμύρια. Τα χρώματα που ταιριάζουν αντιστοιχούν στα αντίστοιχα κενά. (ΜΗ Weissman, CC BY) Οι θεωρητικοί αριθμών ανέμεναν κάποια διακύμανση, αλλά αυτό που βρήκαν ξεπέρασε τις προσδοκίες. Τα Primes χωρίζονται από διαφορετικά κενά. για παράδειγμα, 23 είναι έξι αριθμοί μακριά από 29. Αλλά 3-τότε-9 primes όπως 23 και 29 είναι πολύ πιο κοινά από 7-τότε-3 primes, αν και και οι δύο προέρχονται από ένα κενό έξι.
Οι μαθηματικοί βρήκαν σύντομα μια εύλογη εξήγηση. Αλλά, όταν πρόκειται για τη μελέτη των διαδοχικών πριμοδοτήσεων, οι μαθηματικοί (κυρίως) περιορίζονται στην ανάλυση δεδομένων και την πειθώ. Ο χρυσός κανόνας των απομιμήσεων-μαθηματικών για να εξηγεί γιατί είναι αλήθεια - φαίνεται δεκαετίες μακριά.
Αυτό το άρθρο δημοσιεύθηκε αρχικά στην Η συζήτηση.
Martin H. Weissman, Αναπληρωτής Καθηγητής Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, Σάντα Κρουζ
